פתור עבור y, x
x=3
y=8
גרף
שתף
הועתק ללוח
y-3x=-1
שקול את המשוואה הראשונה. החסר 3x משני האגפים.
y-5x=-7
שקול את המשוואה השניה. החסר 5x משני האגפים.
y-3x=-1,y-5x=-7
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
y-3x=-1
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.
y=3x-1
הוסף 3x לשני אגפי המשוואה.
3x-1-5x=-7
השתמש ב- 3x-1 במקום y במשוואה השניה, y-5x=-7.
-2x-1=-7
הוסף את 3x ל- -5x.
-2x=-6
הוסף 1 לשני אגפי המשוואה.
x=3
חלק את שני האגפים ב- -2.
y=3\times 3-1
השתמש ב- 3 במקום x ב- y=3x-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
y=9-1
הכפל את 3 ב- 3.
y=8
הוסף את -1 ל- 9.
y=8,x=3
המערכת נפתרה כעת.
y-3x=-1
שקול את המשוואה הראשונה. החסר 3x משני האגפים.
y-5x=-7
שקול את המשוואה השניה. החסר 5x משני האגפים.
y-3x=-1,y-5x=-7
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-3\right)}&\frac{1}{-5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\left(-1\right)-\frac{3}{2}\left(-7\right)\\\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
y=8,x=3
חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.
y-3x=-1
שקול את המשוואה הראשונה. החסר 3x משני האגפים.
y-5x=-7
שקול את המשוואה השניה. החסר 5x משני האגפים.
y-3x=-1,y-5x=-7
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
y-y-3x+5x=-1+7
החסר את y-5x=-7 מ- y-3x=-1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-3x+5x=-1+7
הוסף את y ל- -y. האיברים y ו- -y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
2x=-1+7
הוסף את -3x ל- 5x.
2x=6
הוסף את -1 ל- 7.
x=3
חלק את שני האגפים ב- 2.
y-5\times 3=-7
השתמש ב- 3 במקום x ב- y-5x=-7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
y-15=-7
הכפל את -5 ב- 3.
y=8
הוסף 15 לשני אגפי המשוואה.
y=8,x=3
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}