פתור את {l}{y=2x}{y=x/3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { y = \frac { x } { 3 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{x}{3} משני האגפים.

$$y-\frac{x}{3}=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3y-x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-2x=0,3y-x=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-2x=0$$

הוסף ‎2x לשני אגפי המשוואה.

$$y=2x$$

השתמש ב- ‎2x במקום ‎y במשוואה השניה, ‎3y-x=0.

$$3\times 2x-x=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2x.

$$6x-x=0$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-x.

$$5x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎y=2x. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=0,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{x}{3} משני האגפים.

$$y-\frac{x}{3}=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3y-x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-2x=0,3y-x=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=0,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{x}{3} משני האגפים.

$$y-\frac{x}{3}=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3y-x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-2x=0,3y-x=0$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎3y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3y+3\left(-2\right)x=0,3y-x=0$$

פשט.

$$3y-6x=0,3y-x=0$$

החסר את ‎3y-x=0 מ- ‎3y-6x=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3y-3y-6x+x=0$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6x+x=0$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎x.

$$-5x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎3y-x=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=0,x=0$$