פתור את {l}{y=2x}{300x+200y=7000}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { 300 x + 200 y = 7000 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=10$$

$$y=20$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-2x=0$$

הוסף ‎2x לשני אגפי המשוואה.

$$y=2x$$

השתמש ב- ‎2x במקום ‎y במשוואה השניה, ‎200y+300x=7000.

$$200\times 2x+300x=7000$$

הכפל את ‎200 ב- ‎2x.

$$400x+300x=7000$$

הוסף את ‎400x ל- ‎300x.

$$700x=7000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎700.

$$x=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום x ב- ‎y=2x. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=2\times 10$$

הכפל את ‎2 ב- ‎10.

$$y=20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=20,x=10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{300-\left(-2\times 200\right)}&-\frac{-2}{300-\left(-2\times 200\right)}\\-\frac{200}{300-\left(-2\times 200\right)}&\frac{1}{300-\left(-2\times 200\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{350}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{700}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{350}\times 7000\\\frac{1}{700}\times 7000\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=20,x=10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎200y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎200 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$200y+200\left(-2\right)x=0,200y+300x=7000$$

פשט.

$$200y-400x=0,200y+300x=7000$$

החסר את ‎200y+300x=7000 מ- ‎200y-400x=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$200y-200y-400x-300x=-7000$$

הוסף את ‎200y ל- ‎-200y. האיברים ‎200y ו- ‎-200y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-400x-300x=-7000$$

הוסף את ‎-400x ל- ‎-300x.

$$-700x=-7000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-700.

$$x=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום x ב- ‎200y+300x=7000. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$200y+300\times 10=7000$$

הכפל את ‎300 ב- ‎10.

$$200y+3000=7000$$

החסר ‎3000 משני אגפי המשוואה.

$$200y=4000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎200.

$$y=20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=20,x=10$$