פתור את {l}{y=2x+8}{3x+2y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-4$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-2x=8$$

הוסף ‎2x לשני אגפי המשוואה.

$$y=2x+8$$

השתמש ב- ‎8+2x במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y+3x=-12.

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8+2x.

$$4x+16+3x=-12$$

הוסף את ‎4x ל- ‎3x.

$$7x+16=-12$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$7x=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום x ב- ‎y=2x+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=2\left(-4\right)+8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-4.

$$y=-8+8$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-8.

$$y=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=0,x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=0,x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

פשט.

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

החסר את ‎2y+3x=-12 מ- ‎2y-4x=16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4x-3x=16+12$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎-3x.

$$-7x=16+12$$

הוסף את ‎16 ל- ‎12.

$$-7x=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום x ב- ‎2y+3x=-12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-4.

$$2y-12=-12$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$2y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=0,x=-4$$