פתור את {l}{y=2x+1}{y=3x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { y = 3 x + 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-2$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-2x=1$$

הוסף ‎2x לשני אגפי המשוואה.

$$y=2x+1$$

השתמש ב- ‎2x+1 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-3x=3.

$$2x+1-3x=3$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-3x.

$$-x+1=3$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום x ב- ‎y=2x+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=2\left(-2\right)+1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$y=-4+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-4.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-3,x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-2\times 3\\1-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-3,x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-2x=1,y-3x=3$$

החסר את ‎y-3x=3 מ- ‎y-2x=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-2x+3x=1-3$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2x+3x=1-3$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎3x.

$$x=1-3$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-3.

$$x=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום x ב- ‎y-3x=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-3\left(-2\right)=3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-2.

$$y+6=3$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-3,x=-2$$