פתור את {l}{y=-x-3}{y=-8x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 3 } \\ { y = - 8 x + 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=1$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=-3$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎8x משני הצדדים.

$$y+8x=4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+x=-3,y+8x=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+x=-3$$

החסר ‎x משני אגפי המשוואה.

$$y=-x-3$$

השתמש ב- ‎-x-3 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+8x=4.

$$-x-3+8x=4$$

הוסף את ‎-x ל- ‎8x.

$$7x-3=4$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y=-x-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-1-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-1.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-4,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=-3$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎8x משני הצדדים.

$$y+8x=4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+x=-3,y+8x=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{1}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7}\left(-3\right)-\frac{1}{7}\times 4\\-\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-4,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=-3$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎8x משני הצדדים.

$$y+8x=4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+x=-3,y+8x=4$$

החסר את ‎y+8x=4 מ- ‎y+x=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y+x-8x=-3-4$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-8x=-3-4$$

הוסף את ‎x ל- ‎-8x.

$$-7x=-3-4$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-4.

$$-7x=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y+8x=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+8=4$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-4,x=1$$