פתור עבור y, x
x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667
y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333
גרף
שתף
הועתק ללוח
y+x=6
שקול את המשוואה הראשונה. הוסף x משני הצדדים.
y-\frac{1}{2}x=-1
שקול את המשוואה השניה. החסר \frac{1}{2}x משני האגפים.
y+x=6,y-\frac{1}{2}x=-1
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
y+x=6
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.
y=-x+6
החסר x משני אגפי המשוואה.
-x+6-\frac{1}{2}x=-1
השתמש ב- -x+6 במקום y במשוואה השניה, y-\frac{1}{2}x=-1.
-\frac{3}{2}x+6=-1
הוסף את -x ל- -\frac{x}{2}.
-\frac{3}{2}x=-7
החסר 6 משני אגפי המשוואה.
x=\frac{14}{3}
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
y=-\frac{14}{3}+6
השתמש ב- \frac{14}{3} במקום x ב- y=-x+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
y=\frac{4}{3}
הוסף את 6 ל- -\frac{14}{3}.
y=\frac{4}{3},x=\frac{14}{3}
המערכת נפתרה כעת.
y+x=6
שקול את המשוואה הראשונה. הוסף x משני הצדדים.
y-\frac{1}{2}x=-1
שקול את המשוואה השניה. החסר \frac{1}{2}x משני האגפים.
y+x=6,y-\frac{1}{2}x=-1
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
y=\frac{4}{3},x=\frac{14}{3}
חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.
y+x=6
שקול את המשוואה הראשונה. הוסף x משני הצדדים.
y-\frac{1}{2}x=-1
שקול את המשוואה השניה. החסר \frac{1}{2}x משני האגפים.
y+x=6,y-\frac{1}{2}x=-1
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
y-y+x+\frac{1}{2}x=6+1
החסר את y-\frac{1}{2}x=-1 מ- y+x=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
x+\frac{1}{2}x=6+1
הוסף את y ל- -y. האיברים y ו- -y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
\frac{3}{2}x=6+1
הוסף את x ל- \frac{x}{2}.
\frac{3}{2}x=7
הוסף את 6 ל- 1.
x=\frac{14}{3}
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
y-\frac{1}{2}\times \frac{14}{3}=-1
השתמש ב- \frac{14}{3} במקום x ב- y-\frac{1}{2}x=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
y-\frac{7}{3}=-1
הכפל את -\frac{1}{2} ב- \frac{14}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
y=\frac{4}{3}
הוסף \frac{7}{3} לשני אגפי המשוואה.
y=\frac{4}{3},x=\frac{14}{3}
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}