פתור את {l}{y=-4x-17}{-2x+6y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 17 } \\ { - 2 x + 6 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$y+4x=-17$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+4x=-17$$

החסר ‎4x משני אגפי המשוואה.

$$y=-4x-17$$

השתמש ב- ‎-4x-17 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎6y-2x=2.

$$6\left(-4x-17\right)-2x=2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-4x-17.

$$-24x-102-2x=2$$

הוסף את ‎-24x ל- ‎-2x.

$$-26x-102=2$$

הוסף ‎102 לשני אגפי המשוואה.

$$-26x=104$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-26.

$$x=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום x ב- ‎y=-4x-17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-4\left(-4\right)-17$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-4.

$$y=16-17$$

הוסף את ‎-17 ל- ‎16.

$$y=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-1,x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$y+4x=-17$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4\times 6}&-\frac{4}{-2-4\times 6}\\-\frac{6}{-2-4\times 6}&\frac{1}{-2-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-17\right)+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{3}{13}\left(-17\right)-\frac{1}{26}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-1,x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$y+4x=-17$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎6y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$6y+6\times 4x=6\left(-17\right),6y-2x=2$$

פשט.

$$6y+24x=-102,6y-2x=2$$

החסר את ‎6y-2x=2 מ- ‎6y+24x=-102 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6y-6y+24x+2x=-102-2$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-6y. האיברים ‎6y ו- ‎-6y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$24x+2x=-102-2$$

הוסף את ‎24x ל- ‎2x.

$$26x=-102-2$$

הוסף את ‎-102 ל- ‎-2.

$$26x=-104$$

חלק את שני האגפים ב- ‎26.

$$x=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום x ב- ‎6y-2x=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$6y-2\left(-4\right)=2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-4.

$$6y+8=2$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$6y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-1,x=-4$$