פתור את {l}{y=-2x+1}{y=3x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 3 x - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=1$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=-4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+2x=1,y-3x=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+2x=1$$

החסר ‎2x משני אגפי המשוואה.

$$y=-2x+1$$

השתמש ב- ‎-2x+1 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-3x=-4.

$$-2x+1-3x=-4$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎-3x.

$$-5x+1=-4$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y=-2x+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-2+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-2.

$$y=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-1,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=-4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+2x=1,y-3x=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-1,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=-4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+2x=1,y-3x=-4$$

החסר את ‎y-3x=-4 מ- ‎y+2x=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y+2x+3x=1+4$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x+3x=1+4$$

הוסף את ‎2x ל- ‎3x.

$$5x=1+4$$

הוסף את ‎1 ל- ‎4.

$$5x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y-3x=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-3=-4$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$y=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-1,x=1$$