פתור את {l}{y=-7/3x+3}{y=-2/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 7 } { 3 } x + 3 } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=3$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎\frac{7}{3}x משני הצדדים.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{2}{3}x משני הצדדים.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

החסר ‎\frac{7x}{3} משני אגפי המשוואה.

$$y=-\frac{7}{3}x+3$$

השתמש ב- ‎-\frac{7x}{3}+3 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+\frac{2}{3}x=-2.

$$-\frac{7}{3}x+3+\frac{2}{3}x=-2$$

הוסף את ‎-\frac{7x}{3} ל- ‎\frac{2x}{3}.

$$-\frac{5}{3}x+3=-2$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{3}x=-5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎y=-\frac{7}{3}x+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{7}{3}\times 3+3$$

הכפל את ‎-\frac{7}{3} ב- ‎3.

$$y=-7+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-7.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-4,x=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎\frac{7}{3}x משני הצדדים.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{2}{3}x משני הצדדים.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{7}{3}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\frac{7}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 3+\frac{7}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}\times 3-\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-4,x=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎\frac{7}{3}x משני הצדדים.

$$y+\frac{7}{3}x=3$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{2}{3}x משני הצדדים.

$$y+\frac{2}{3}x=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+\frac{7}{3}x=3,y+\frac{2}{3}x=-2$$

החסר את ‎y+\frac{2}{3}x=-2 מ- ‎y+\frac{7}{3}x=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y+\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{7}{3}x-\frac{2}{3}x=3+2$$

הוסף את ‎\frac{7x}{3} ל- ‎-\frac{2x}{3}.

$$\frac{5}{3}x=3+2$$

הוסף את ‎3 ל- ‎2.

$$\frac{5}{3}x=5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎y+\frac{2}{3}x=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+\frac{2}{3}\times 3=-2$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎3.

$$y+2=-2$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-4,x=3$$