פתור את {l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=160$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{x}{20} משני האגפים.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎20.

$$20y-x=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 80+x ב- \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

החסר ‎\frac{1}{30}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$20y-x=0$$

הוסף ‎x לשני אגפי המשוואה.

$$20y=x$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$y=\frac{1}{20}x$$

השתמש ב- ‎\frac{x}{20} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}.

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

הוסף את ‎\frac{x}{20} ל- ‎-\frac{x}{30}.

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎60.

$$x=160$$

השתמש ב- ‎160 במקום x ב- ‎y=\frac{1}{20}x. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

הכפל את ‎\frac{1}{20} ב- ‎160.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=8,x=160$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{x}{20} משני האגפים.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎20.

$$20y-x=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 80+x ב- \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

החסר ‎\frac{1}{30}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=8,x=160$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{x}{20} משני האגפים.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎20.

$$20y-x=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 80+x ב- \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

החסר ‎\frac{1}{30}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

כדי להפוך את ‎20y ו- ‎y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎20.

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

פשט.

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

החסר את ‎20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3} מ- ‎20y-x=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-20y. האיברים ‎20y ו- ‎-20y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

הוסף את ‎-x ל- ‎\frac{2x}{3}.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=160$$

השתמש ב- ‎160 במקום x ב- ‎y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{30} ב- ‎160.

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

הוסף ‎\frac{16}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=8,x=160$$