פתור את {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{9}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

הוסף ‎\frac{x}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

השתמש ב- ‎\frac{x}{3}+6 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-\frac{1}{9}x=-1.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

הוסף את ‎\frac{x}{3} ל- ‎-\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{63}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{63}{2} במקום x ב- ‎y=\frac{1}{3}x+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{63}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-\frac{21}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{9}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{9}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

החסר את ‎y-\frac{1}{9}x=-1 מ- ‎y-\frac{1}{3}x=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

הוסף את ‎-\frac{x}{3} ל- ‎\frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

הוסף את ‎6 ל- ‎1.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{9}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{63}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{63}{2} במקום x ב- ‎y-\frac{1}{9}x=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

הכפל את ‎-\frac{1}{9} ב- ‎-\frac{63}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

החסר ‎\frac{7}{2} משני אגפי המשוואה.

$$y=-\frac{9}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$