פתור את {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{4}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

הוסף ‎\frac{x}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

השתמש ב- ‎\frac{x}{3}+1 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-\frac{4}{3}x=-2.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

הוסף את ‎\frac{x}{3} ל- ‎-\frac{4x}{3}.

$$-x+1=-2$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎y=\frac{1}{3}x+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎3.

$$y=1+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎1.

$$y=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=2,x=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{4}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=2,x=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{4}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

החסר את ‎y-\frac{4}{3}x=-2 מ- ‎y-\frac{1}{3}x=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

הוסף את ‎-\frac{x}{3} ל- ‎\frac{4x}{3}.

$$x=1+2$$

הוסף את ‎1 ל- ‎2.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎y-\frac{4}{3}x=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎3.

$$y-4=-2$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$y=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=2,x=3$$