פתור עבור y, x
x=4
y=-2
גרף
שתף
הועתק ללוח
y-\frac{1}{2}x=-4
שקול את המשוואה הראשונה. החסר \frac{1}{2}x משני האגפים.
y+\frac{1}{4}x=-1
שקול את המשוואה השניה. הוסף \frac{1}{4}x משני הצדדים.
y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
y-\frac{1}{2}x=-4
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.
y=\frac{1}{2}x-4
הוסף \frac{x}{2} לשני אגפי המשוואה.
\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1
השתמש ב- \frac{x}{2}-4 במקום y במשוואה השניה, y+\frac{1}{4}x=-1.
\frac{3}{4}x-4=-1
הוסף את \frac{x}{2} ל- \frac{x}{4}.
\frac{3}{4}x=3
הוסף 4 לשני אגפי המשוואה.
x=4
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
y=\frac{1}{2}\times 4-4
השתמש ב- 4 במקום x ב- y=\frac{1}{2}x-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
y=2-4
הכפל את \frac{1}{2} ב- 4.
y=-2
הוסף את -4 ל- 2.
y=-2,x=4
המערכת נפתרה כעת.
y-\frac{1}{2}x=-4
שקול את המשוואה הראשונה. החסר \frac{1}{2}x משני האגפים.
y+\frac{1}{4}x=-1
שקול את המשוואה השניה. הוסף \frac{1}{4}x משני הצדדים.
y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
עבור מטריצת 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
y=-2,x=4
חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.
y-\frac{1}{2}x=-4
שקול את המשוואה הראשונה. החסר \frac{1}{2}x משני האגפים.
y+\frac{1}{4}x=-1
שקול את המשוואה השניה. הוסף \frac{1}{4}x משני הצדדים.
y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1
החסר את y+\frac{1}{4}x=-1 מ- y-\frac{1}{2}x=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1
הוסף את y ל- -y. האיברים y ו- -y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-\frac{3}{4}x=-4+1
הוסף את -\frac{x}{2} ל- -\frac{x}{4}.
-\frac{3}{4}x=-3
הוסף את -4 ל- 1.
x=4
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
y+\frac{1}{4}\times 4=-1
השתמש ב- 4 במקום x ב- y+\frac{1}{4}x=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
y+1=-1
הכפל את \frac{1}{4} ב- 4.
y=-2
החסר 1 משני אגפי המשוואה.
y=-2,x=4
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}