פתור את {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

הוסף ‎\frac{x}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

השתמש ב- ‎\frac{x}{2}+1 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{x}{2}+1.

$$x+2+3x=-2$$

הוסף את ‎x ל- ‎3x.

$$4x+2=-2$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$4x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎y=\frac{1}{2}x+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-1.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

פשט.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

החסר את ‎2y+3x=-2 מ- ‎2y-x=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-x-3x=2+2$$

הוסף את ‎-x ל- ‎-3x.

$$-4x=2+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎2.

$$-4x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎2y+3x=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-1.

$$2y-3=-2$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$2y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$