פתור את {l}{y+4x-6=0}{3x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+4x-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$y+4x=6$$

החסר ‎4x משני אגפי המשוואה.

$$y=-4x+6$$

השתמש ב- ‎-4x+6 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-y+3x=7.

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-4x+6.

$$4x-6+3x=7$$

הוסף את ‎4x ל- ‎3x.

$$7x-6=7$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{13}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{7} במקום x ב- ‎y=-4x+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{13}{7}.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-\frac{52}{7}.

$$y=-\frac{10}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎-y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

פשט.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

החסר את ‎-y+3x=7 מ- ‎-y-4x+6=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4x-3x+6=-7$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎-3x.

$$-7x+6=-7$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-7x=-13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=\frac{13}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{7} במקום x ב- ‎-y+3x=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{13}{7}.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

החסר ‎\frac{39}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-y=\frac{10}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-\frac{10}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$