פתור את {l}{x_{1}=frac{108-x_{2}}{2}}{x_{2}=frac{102-x_{1}}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 1 } = \frac { 108 - x _ { 2 } } { 2 } } \\ { x _ { 2 } = \frac { 102 - x _ { 1 } } { 2 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x_1, x_2

$$x_{1}=38$$

$$x_{2}=32$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. חלק כל איבר של ‎108-x_{2} ב- ‎2 כדי לקבל ‎54-\frac{1}{2}x_{2}.

$$x_{1}=54-\frac{1}{2}x_{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2}x_{2} משני הצדדים.

$$x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}=54$$

שקול את המשוואה השניה. חלק כל איבר של ‎102-x_{1} ב- ‎2 כדי לקבל ‎51-\frac{1}{2}x_{1}.

$$x_{2}=51-\frac{1}{2}x_{1}$$

הוסף ‎\frac{1}{2}x_{1} משני הצדדים.

$$x_{2}+\frac{1}{2}x_{1}=51$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}=54,\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=51$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x_{1} על-ידי בידוד x_{1} בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}=54$$

החסר ‎\frac{x_{2}}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x_{1}=-\frac{1}{2}x_{2}+54$$

השתמש ב- ‎-\frac{x_{2}}{2}+54 במקום ‎x_{1} במשוואה השניה, ‎\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=51.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x_{2}+54\right)+x_{2}=51$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-\frac{x_{2}}{2}+54.

$$-\frac{1}{4}x_{2}+27+x_{2}=51$$

הוסף את ‎-\frac{x_{2}}{4} ל- ‎x_{2}.

$$\frac{3}{4}x_{2}+27=51$$

החסר ‎27 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{4}x_{2}=24$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x_{2}=32$$

השתמש ב- ‎32 במקום x_{2} ב- ‎x_{1}=-\frac{1}{2}x_{2}+54. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x_{1} ישירות.

$$x_{1}=-\frac{1}{2}\times 32+54$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎32.

$$x_{1}=-16+54$$

הוסף את ‎54 ל- ‎-16.

$$x_{1}=38$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x_{1}=38,x_{2}=32$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. חלק כל איבר של ‎108-x_{2} ב- ‎2 כדי לקבל ‎54-\frac{1}{2}x_{2}.

$$x_{1}=54-\frac{1}{2}x_{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2}x_{2} משני הצדדים.

$$x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}=54$$

שקול את המשוואה השניה. חלק כל איבר של ‎102-x_{1} ב- ‎2 כדי לקבל ‎51-\frac{1}{2}x_{1}.

$$x_{2}=51-\frac{1}{2}x_{1}$$

הוסף ‎\frac{1}{2}x_{1} משני הצדדים.

$$x_{2}+\frac{1}{2}x_{1}=51$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}=54,\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=51$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\51\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\51\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\51\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\51\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}&\frac{1}{1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\51\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\51\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 54-\frac{2}{3}\times 51\\-\frac{2}{3}\times 54+\frac{4}{3}\times 51\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\32\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x_{1} ו- x_{2}.

$$x_{1}=38,x_{2}=32$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. חלק כל איבר של ‎108-x_{2} ב- ‎2 כדי לקבל ‎54-\frac{1}{2}x_{2}.

$$x_{1}=54-\frac{1}{2}x_{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2}x_{2} משני הצדדים.

$$x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}=54$$

שקול את המשוואה השניה. חלק כל איבר של ‎102-x_{1} ב- ‎2 כדי לקבל ‎51-\frac{1}{2}x_{1}.

$$x_{2}=51-\frac{1}{2}x_{1}$$

הוסף ‎\frac{1}{2}x_{1} משני הצדדים.

$$x_{2}+\frac{1}{2}x_{1}=51$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}=54,\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=51$$

כדי להפוך את ‎x_{1} ו- ‎\frac{x_{1}}{2} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{1}{2} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$\frac{1}{2}x_{1}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}x_{2}=\frac{1}{2}\times 54,\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=51$$

פשט.

$$\frac{1}{2}x_{1}+\frac{1}{4}x_{2}=27,\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=51$$

החסר את ‎\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=51 מ- ‎\frac{1}{2}x_{1}+\frac{1}{4}x_{2}=27 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{2}x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}+\frac{1}{4}x_{2}-x_{2}=27-51$$

הוסף את ‎\frac{x_{1}}{2} ל- ‎-\frac{x_{1}}{2}. האיברים ‎\frac{x_{1}}{2} ו- ‎-\frac{x_{1}}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{1}{4}x_{2}-x_{2}=27-51$$

הוסף את ‎\frac{x_{2}}{4} ל- ‎-x_{2}.

$$-\frac{3}{4}x_{2}=27-51$$

הוסף את ‎27 ל- ‎-51.

$$-\frac{3}{4}x_{2}=-24$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x_{2}=32$$

השתמש ב- ‎32 במקום x_{2} ב- ‎\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=51. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x_{1} ישירות.

$$\frac{1}{2}x_{1}+32=51$$

החסר ‎32 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}x_{1}=19$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$x_{1}=38$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x_{1}=38,x_{2}=32$$