פתור את {l}{x-y=4}{5x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 5 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=4,5x-2y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=4$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+4$$

השתמש ב- ‎y+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-2y=2.

$$5\left(y+4\right)-2y=2$$

הכפל את ‎5 ב- ‎y+4.

$$5y+20-2y=2$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-2y.

$$3y+20=2$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$3y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-6+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-6.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=4,5x-2y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{-2-\left(-5\right)}&\frac{1}{-2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 2\\-\frac{5}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=4,5x-2y=2$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$5x+5\left(-1\right)y=5\times 4,5x-2y=2$$

פשט.

$$5x-5y=20,5x-2y=2$$

החסר את ‎5x-2y=2 מ- ‎5x-5y=20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x-5y+2y=20-2$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y+2y=20-2$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎2y.

$$-3y=20-2$$

הוסף את ‎20 ל- ‎-2.

$$-3y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎5x-2y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-2\left(-6\right)=2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-6.

$$5x+12=2$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$5x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-6$$