פתור את {l}{x-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎20.

$$20x-y=320$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=21,20x-y=320$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=21$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+21$$

השתמש ב- ‎y+21 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎20x-y=320.

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

הכפל את ‎20 ב- ‎y+21.

$$20y+420-y=320$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-y.

$$19y+420=320$$

החסר ‎420 משני אגפי המשוואה.

$$19y=-100$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$y=-\frac{100}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{100}{19} במקום y ב- ‎x=y+21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

הוסף את ‎21 ל- ‎-\frac{100}{19}.

$$x=\frac{299}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎20.

$$20x-y=320$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=21,20x-y=320$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎20.

$$20x-y=320$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=21,20x-y=320$$

החסר את ‎20x-y=320 מ- ‎x-y=21 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-20x-y+y=21-320$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-20x=21-320$$

הוסף את ‎x ל- ‎-20x.

$$-19x=21-320$$

הוסף את ‎21 ל- ‎-320.

$$-19x=-299$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$x=\frac{299}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{299}{19} במקום x ב- ‎20x-y=320. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

הכפל את ‎20 ב- ‎\frac{299}{19}.

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

החסר ‎\frac{5980}{19} משני אגפי המשוואה.

$$-y=\frac{100}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-\frac{100}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$