פתור את {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=37$$

$$y=21$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-x=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=16$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+16$$

השתמש ב- ‎y+16 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+2y=5.

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎y+16.

$$-y-16+2y=5$$

הוסף את ‎-y ל- ‎2y.

$$y-16=5$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$y=21$$

השתמש ב- ‎21 במקום y ב- ‎x=y+16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=21+16$$

הוסף את ‎16 ל- ‎21.

$$x=37$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=37,y=21$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-x=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=37,y=21$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-x=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

פשט.

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

החסר את ‎-x+2y=5 מ- ‎-x+y=-16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-2y=-16-5$$

הוסף את ‎y ל- ‎-2y.

$$-y=-16-5$$

הוסף את ‎-16 ל- ‎-5.

$$-y=-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=21$$

השתמש ב- ‎21 במקום y ב- ‎-x+2y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+2\times 21=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎21.

$$-x+42=5$$

החסר ‎42 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-37$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=37$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=37,y=21$$