פתור את {l}{x-y=-6}{y=-3x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = - 6 } \\ { y = - 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$y+3x=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=-6,3x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=-6$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y-6$$

השתמש ב- ‎y-6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=2.

$$3\left(y-6\right)+y=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎y-6.

$$3y-18+y=2$$

הוסף את ‎3y ל- ‎y.

$$4y-18=2$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$4y=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎5.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$y+3x=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=-6,3x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$y+3x=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=-6,3x+y=2$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-6\right),3x+y=2$$

פשט.

$$3x-3y=-18,3x+y=2$$

החסר את ‎3x+y=2 מ- ‎3x-3y=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-3y-y=-18-2$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-y=-18-2$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-y.

$$-4y=-18-2$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎-2.

$$-4y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎3x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+5=2$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=5$$