פתור את {l}{x^2+y^2=6}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 6 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\approx 0.633974596\text{, }y=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}\approx -2.366025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}+3}{2}\approx 2.366025404\text{, }y=\frac{\sqrt{3}-3}{2}\approx -0.633974596$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=3,y^{2}+x^{2}=6$$

פתור את ‎x-y=3 עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=3$$

החסר ‎-y משני אגפי המשוואה.

$$x=y+3$$

השתמש ב- ‎y+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎y^{2}+x^{2}=6.

$$y^{2}+\left(y+3\right)^{2}=6$$

‎y+3 בריבוע.

$$y^{2}+y^{2}+6y+9=6$$

הוסף את ‎y^{2} ל- ‎y^{2}.

$$2y^{2}+6y+9=6$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$2y^{2}+6y+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\times 1^{2} במקום a, ב- 1\times 3\times 1\times 2 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

‎1\times 3\times 1\times 2 בריבוע.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\times 1^{2}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-8\times 3}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎3.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-24}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-24.

$$y=\frac{-6±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 12.

$$y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\times 1^{2}.

$$y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-6}{4}$$

חלק את ‎-6+2\sqrt{3} ב- ‎4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-6±2\sqrt{3}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{3} מ- ‎-6.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-6}{4}$$

חלק את ‎-6-2\sqrt{3} ב- ‎4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{-3+\sqrt{3}}{2} ו- ‎\frac{-3-\sqrt{3}}{2}. השתמש ב- ‎\frac{-3+\sqrt{3}}{2} במקום ‎y במשוואה ‎x=y+3 כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=\frac{\sqrt{3}-3}{2}+3$$

כעת השתמש ב- ‎\frac{-3-\sqrt{3}}{2} במקום ‎y במשוואה x=y+3 ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}+3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{3}-3}{2}+3,y=\frac{\sqrt{3}-3}{2}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}+3,y=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}$$