פתור את {l}{x^2+y^2=10}{x=5y}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 10 } \\ { x = 5 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{5\sqrt{65}}{13}\approx -3.100868365\text{, }y=-\frac{\sqrt{65}}{13}\approx -0.620173673$$

$$x=\frac{5\sqrt{65}}{13}\approx 3.100868365\text{, }y=\frac{\sqrt{65}}{13}\approx 0.620173673$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5y משני האגפים.

$$x-5y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-5y=0,y^{2}+x^{2}=10$$

פתור את ‎x-5y=0 עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-5y=0$$

החסר ‎-5y משני אגפי המשוואה.

$$x=5y$$

השתמש ב- ‎5y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎y^{2}+x^{2}=10.

$$y^{2}+\left(5y\right)^{2}=10$$

‎5y בריבוע.

$$y^{2}+25y^{2}=10$$

הוסף את ‎y^{2} ל- ‎25y^{2}.

$$26y^{2}=10$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$26y^{2}-10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\times 5^{2} במקום a, ב- 1\times 0\times 2\times 5 במקום b, וב- -10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 26\left(-10\right)}}{2\times 26}$$

‎1\times 0\times 2\times 5 בריבוע.

$$y=\frac{0±\sqrt{-4\times 26\left(-10\right)}}{2\times 26}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\times 5^{2}.

$$y=\frac{0±\sqrt{-104\left(-10\right)}}{2\times 26}$$

הכפל את ‎-104 ב- ‎-10.

$$y=\frac{0±\sqrt{1040}}{2\times 26}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1040.

$$y=\frac{0±4\sqrt{65}}{2\times 26}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\times 5^{2}.

$$y=\frac{0±4\sqrt{65}}{52}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{0±4\sqrt{65}}{52} כאשר ± כולל סימן חיבור.

$$y=\frac{\sqrt{65}}{13}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{0±4\sqrt{65}}{52} כאשר ± כולל סימן חיסור.

$$y=-\frac{\sqrt{65}}{13}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{\sqrt{65}}{13} ו- ‎-\frac{\sqrt{65}}{13}. השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{65}}{13} במקום ‎y במשוואה ‎x=5y כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=5\times \frac{\sqrt{65}}{13}$$

כעת השתמש ב- ‎-\frac{\sqrt{65}}{13} במקום ‎y במשוואה x=5y ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=5\left(-\frac{\sqrt{65}}{13}\right)$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5\times \frac{\sqrt{65}}{13},y=\frac{\sqrt{65}}{13}\text{ or }x=5\left(-\frac{\sqrt{65}}{13}\right),y=-\frac{\sqrt{65}}{13}$$