פתור את {l}{x^2+y^2=1}{2x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \\ { 2 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\approx 0.911437828\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{4}\approx -0.411437828$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{4}\approx -0.411437828\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\approx 0.911437828$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+2y=1,y^{2}+x^{2}=1$$

פתור את ‎2x+2y=1 עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+2y=1$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-2y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-y+\frac{1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎y^{2}+x^{2}=1.

$$y^{2}+\left(-y+\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

‎-y+\frac{1}{2} בריבוע.

$$y^{2}+y^{2}-y+\frac{1}{4}=1$$

הוסף את ‎y^{2} ל- ‎y^{2}.

$$2y^{2}-y+\frac{1}{4}=1$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$2y^{2}-y-\frac{3}{4}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+1\left(-1\right)^{2} במקום a, ב- 1\times \frac{1}{2}\left(-1\right)\times 2 במקום b, וב- -\frac{3}{4} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-\frac{3}{4}\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-\frac{3}{4}\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-\frac{3}{4}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+6}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎6.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎1\times \frac{1}{2}\left(-1\right)\times 2 הוא ‎1.

$$y=\frac{1±\sqrt{7}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{1±\sqrt{7}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{1±\sqrt{7}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎\sqrt{7}.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{1±\sqrt{7}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{7} מ- ‎1.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{4}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{1+\sqrt{7}}{4} ו- ‎\frac{1-\sqrt{7}}{4}. השתמש ב- ‎\frac{1+\sqrt{7}}{4} במקום ‎y במשוואה ‎x=-y+\frac{1}{2} כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{4}+\frac{1}{2}$$

כעת השתמש ב- ‎\frac{1-\sqrt{7}}{4} במקום ‎y במשוואה x=-y+\frac{1}{2} ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{4}+\frac{1}{2},y=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{2},y=\frac{1-\sqrt{7}}{4}$$