פתור את {l}{x=y/2}{y=x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x = y / 2 } \\ { y = x - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-5$$

$$y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{y}{2} משני האגפים.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x-y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=0$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}y$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+y=-5.

$$-\frac{1}{2}y+y=-5$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎y.

$$\frac{1}{2}y=-5$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-10$$

השתמש ב- ‎-10 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-10.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{y}{2} משני האגפים.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x-y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-5,y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎\frac{y}{2} משני האגפים.

$$x-\frac{y}{2}=0$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x-y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=0,-x+y=-5$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-2x-\left(-y\right)=0,2\left(-1\right)x+2y=2\left(-5\right)$$

פשט.

$$-2x+y=0,-2x+2y=-10$$

החסר את ‎-2x+2y=-10 מ- ‎-2x+y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x+y-2y=10$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-2y=10$$

הוסף את ‎y ל- ‎-2y.

$$-y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-10$$

השתמש ב- ‎-10 במקום y ב- ‎-x+y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x-10=-5$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$-x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=-10$$