פתור את {l}{x=2y+1}{7x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 2 y + 1 } \\ { 7 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x-2y=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-2y=1,7x-2y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-2y=1$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$x=2y+1$$

השתמש ב- ‎2y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x-2y=1.

$$7\left(2y+1\right)-2y=1$$

הכפל את ‎7 ב- ‎2y+1.

$$14y+7-2y=1$$

הוסף את ‎14y ל- ‎-2y.

$$12y+7=1$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$12y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=2y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$x=-1+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-1.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x-2y=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-2y=1,7x-2y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{1}{-2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1+1}{6}\\\frac{-7+1}{12}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x-2y=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-2y=1,7x-2y=1$$

החסר את ‎7x-2y=1 מ- ‎x-2y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-7x-2y+2y=1-1$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎2y. האיברים ‎-2y ו- ‎2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-7x=1-1$$

הוסף את ‎x ל- ‎-7x.

$$-6x=1-1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-1.

$$-6x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎7x-2y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-2y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-\frac{1}{2}$$