פתור את {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+36-3y=0$$

החסר ‎36 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-3y=-36$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=90$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+90$$

השתמש ב- ‎-y+90 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-3y.

$$-4y+90=-36$$

החסר ‎90 משני אגפי המשוואה.

$$-4y=-126$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=\frac{63}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{63}{2} במקום y ב- ‎x=-y+90. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

הוסף את ‎90 ל- ‎-\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+36-3y=0$$

החסר ‎36 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-3y=-36$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+36-3y=0$$

החסר ‎36 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-3y=-36$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

החסר את ‎x-3y=-36 מ- ‎x+y=90 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+y+3y=90+36$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+3y=90+36$$

הוסף את ‎y ל- ‎3y.

$$4y=90+36$$

הוסף את ‎90 ל- ‎36.

$$4y=126$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{63}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{63}{2} במקום y ב- ‎x-3y=-36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

הוסף ‎\frac{189}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{117}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$