פתור את {l}{x+y=8}{x+3y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { x + 3 y = 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=8,x+3y=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=8$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+8$$

השתמש ב- ‎-y+8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+3y=14.

$$-y+8+3y=14$$

הוסף את ‎-y ל- ‎3y.

$$2y+8=14$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$2y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-y+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3+8$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-3.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=8,x+3y=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{1}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 8-\frac{1}{2}\times 14\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=8,x+3y=14$$

החסר את ‎x+3y=14 מ- ‎x+y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+y-3y=8-14$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-3y=8-14$$

הוסף את ‎y ל- ‎-3y.

$$-2y=8-14$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-14.

$$-2y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x+3y=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+3\times 3=14$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$x+9=14$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=3$$