פתור את {l}{x+y=8}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-x=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=8$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+8$$

השתמש ב- ‎-y+8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+2y=1.

$$-\left(-y+8\right)+2y=1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-y+8.

$$y-8+2y=1$$

הוסף את ‎y ל- ‎2y.

$$3y-8=1$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-y+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3+8$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-3.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-x=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 8-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-x=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-x-y=-8,-x+2y=1$$

החסר את ‎-x+2y=1 מ- ‎-x-y=-8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x-y-2y=-8-1$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-y-2y=-8-1$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-2y.

$$-3y=-8-1$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎-1.

$$-3y=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎-x+2y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+2\times 3=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$-x+6=1$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=3$$