פתור את {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=74$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+74$$

השתמש ב- ‎-y+74 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

הכפל את ‎40 ב- ‎-y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

הוסף את ‎-40y ל- ‎60y.

$$20y+2960=3660$$

החסר ‎2960 משני אגפי המשוואה.

$$20y=700$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$y=35$$

השתמש ב- ‎35 במקום y ב- ‎x=-y+74. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-35+74$$

הוסף את ‎74 ל- ‎-35.

$$x=39$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=39,y=35$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=39,y=35$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎40x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎40 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

פשט.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

החסר את ‎40x+60y=3660 מ- ‎40x+40y=2960 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

הוסף את ‎40x ל- ‎-40x. האיברים ‎40x ו- ‎-40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$40y-60y=2960-3660$$

הוסף את ‎40y ל- ‎-60y.

$$-20y=2960-3660$$

הוסף את ‎2960 ל- ‎-3660.

$$-20y=-700$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$y=35$$

השתמש ב- ‎35 במקום y ב- ‎40x+60y=3660. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$40x+60\times 35=3660$$

הכפל את ‎60 ב- ‎35.

$$40x+2100=3660$$

החסר ‎2100 משני אגפי המשוואה.

$$40x=1560$$

חלק את שני האגפים ב- ‎40.

$$x=39$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=39,y=35$$