פתור את {l}{x+y=69}{7x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 69 } \\ { 7 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=66$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=69,7x+y=87$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=69$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+69$$

השתמש ב- ‎-y+69 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+y=87.

$$7\left(-y+69\right)+y=87$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-y+69.

$$-7y+483+y=87$$

הוסף את ‎-7y ל- ‎y.

$$-6y+483=87$$

החסר ‎483 משני אגפי המשוואה.

$$-6y=-396$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=66$$

השתמש ב- ‎66 במקום y ב- ‎x=-y+69. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-66+69$$

הוסף את ‎69 ל- ‎-66.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=66$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=69,7x+y=87$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-7}&-\frac{1}{1-7}\\-\frac{7}{1-7}&\frac{1}{1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{7}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 69+\frac{1}{6}\times 87\\\frac{7}{6}\times 69-\frac{1}{6}\times 87\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\66\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=66$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=69,7x+y=87$$

החסר את ‎7x+y=87 מ- ‎x+y=69 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-7x+y-y=69-87$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-7x=69-87$$

הוסף את ‎x ל- ‎-7x.

$$-6x=69-87$$

הוסף את ‎69 ל- ‎-87.

$$-6x=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎7x+y=87. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$7\times 3+y=87$$

הכפל את ‎7 ב- ‎3.

$$21+y=87$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$y=66$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=66$$