פתור את {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=500$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+500$$

השתמש ב- ‎-y+500 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

הכפל את ‎25 ב- ‎-y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

הוסף את ‎-25y ל- ‎35y.

$$10y+12500=1450$$

החסר ‎12500 משני אגפי המשוואה.

$$10y=-11050$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-1105$$

השתמש ב- ‎-1105 במקום y ב- ‎x=-y+500. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-1105.

$$x=1105+500$$

הוסף את ‎500 ל- ‎1105.

$$x=1605$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1605,y=-1105$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1605,y=-1105$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎25x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎25 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

פשט.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

החסר את ‎25x+35y=1450 מ- ‎25x+25y=12500 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

הוסף את ‎25x ל- ‎-25x. האיברים ‎25x ו- ‎-25x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$25y-35y=12500-1450$$

הוסף את ‎25y ל- ‎-35y.

$$-10y=12500-1450$$

הוסף את ‎12500 ל- ‎-1450.

$$-10y=11050$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=-1105$$

השתמש ב- ‎-1105 במקום y ב- ‎25x+35y=1450. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

הכפל את ‎35 ב- ‎-1105.

$$25x-38675=1450$$

הוסף ‎38675 לשני אגפי המשוואה.

$$25x=40125$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$x=1605$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1605,y=-1105$$