פתור את {l}{x+y=34}{4x+2y=126}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 34 } \\ { 4 x + 2 y = 126 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=29$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=34,4x+2y=126$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=34$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+34$$

השתמש ב- ‎-y+34 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+2y=126.

$$4\left(-y+34\right)+2y=126$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-y+34.

$$-4y+136+2y=126$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎2y.

$$-2y+136=126$$

החסר ‎136 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-y+34. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5+34$$

הוסף את ‎34 ל- ‎-5.

$$x=29$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=29,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=34,4x+2y=126$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\126\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\126\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\126\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\126\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\126\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\126\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-34+\frac{1}{2}\times 126\\2\times 34-\frac{1}{2}\times 126\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=29,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=34,4x+2y=126$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$4x+4y=4\times 34,4x+2y=126$$

פשט.

$$4x+4y=136,4x+2y=126$$

החסר את ‎4x+2y=126 מ- ‎4x+4y=136 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+4y-2y=136-126$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-2y=136-126$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-2y.

$$2y=136-126$$

הוסף את ‎136 ל- ‎-126.

$$2y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎4x+2y=126. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+2\times 5=126$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$4x+10=126$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$4x=116$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=29$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=29,y=5$$