פתור את {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=250$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+250$$

השתמש ב- ‎-y+250 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

הכפל את ‎\frac{1}{19} ב- ‎-y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

הוסף את ‎-\frac{y}{19} ל- ‎\frac{y}{10}.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

החסר ‎\frac{250}{19} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{190}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{370}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{370}{3} במקום y ב- ‎x=-y+250. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

הוסף את ‎250 ל- ‎-\frac{370}{3}.

$$x=\frac{380}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{x}{19} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{1}{19} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

פשט.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

החסר את ‎\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 מ- ‎\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

הוסף את ‎\frac{x}{19} ל- ‎-\frac{x}{19}. האיברים ‎\frac{x}{19} ו- ‎-\frac{x}{19} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

הוסף את ‎\frac{y}{19} ל- ‎-\frac{y}{10}.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

הוסף את ‎\frac{250}{19} ל- ‎-19.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{9}{190}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{370}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{370}{3} במקום y ב- ‎\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

הכפל את ‎\frac{1}{10} ב- ‎\frac{370}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

החסר ‎\frac{37}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎19.

$$x=\frac{380}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$