פתור את {l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=80$$

$$y=160$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=240$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+240$$

השתמש ב- ‎-y+240 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.12x+0.06y=19.2.

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

הכפל את ‎0.12 ב- ‎-y+240.

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{25} ל- ‎\frac{3y}{50}.

$$-0.06y+28.8=19.2$$

החסר ‎28.8 משני אגפי המשוואה.

$$-0.06y=-9.6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.06, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=160$$

השתמש ב- ‎160 במקום y ב- ‎x=-y+240. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-160+240$$

הוסף את ‎240 ל- ‎-160.

$$x=80$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=80,y=160$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=80,y=160$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{3x}{25} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎0.12 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

פשט.

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

החסר את ‎0.12x+0.06y=19.2 מ- ‎0.12x+0.12y=28.8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

הוסף את ‎\frac{3x}{25} ל- ‎-\frac{3x}{25}. האיברים ‎\frac{3x}{25} ו- ‎-\frac{3x}{25} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

הוסף את ‎\frac{3y}{25} ל- ‎-\frac{3y}{50}.

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

הוסף את ‎28.8 ל- ‎-19.2 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.06y=9.6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.06, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=160$$

השתמש ב- ‎160 במקום y ב- ‎0.12x+0.06y=19.2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

הכפל את ‎0.06 ב- ‎160.

$$0.12x+9.6=19.2$$

החסר ‎9.6 משני אגפי המשוואה.

$$0.12x=9.6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.12, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=80$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=80,y=160$$