פתור את {l}{x+y=17}{2.6x+3.5y=55}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2.6 x + 3.5 y = 55 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=12$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=17$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+17$$

השתמש ב- ‎-y+17 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2.6x+3.5y=55.

$$2.6\left(-y+17\right)+3.5y=55$$

הכפל את ‎2.6 ב- ‎-y+17.

$$-2.6y+44.2+3.5y=55$$

הוסף את ‎-\frac{13y}{5} ל- ‎\frac{7y}{2}.

$$0.9y+44.2=55$$

החסר ‎44.2 משני אגפי המשוואה.

$$0.9y=10.8$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.9, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום y ב- ‎x=-y+17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-12+17$$

הוסף את ‎17 ל- ‎-12.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=12$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-2.6}&-\frac{1}{3.5-2.6}\\-\frac{2.6}{3.5-2.6}&\frac{1}{3.5-2.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}&-\frac{10}{9}\\-\frac{26}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}\times 17-\frac{10}{9}\times 55\\-\frac{26}{9}\times 17+\frac{10}{9}\times 55\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=12$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎\frac{13x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2.6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2.6x+2.6y=2.6\times 17,2.6x+3.5y=55$$

פשט.

$$2.6x+2.6y=44.2,2.6x+3.5y=55$$

החסר את ‎2.6x+3.5y=55 מ- ‎2.6x+2.6y=44.2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2.6x-2.6x+2.6y-3.5y=44.2-55$$

הוסף את ‎\frac{13x}{5} ל- ‎-\frac{13x}{5}. האיברים ‎\frac{13x}{5} ו- ‎-\frac{13x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2.6y-3.5y=44.2-55$$

הוסף את ‎\frac{13y}{5} ל- ‎-\frac{7y}{2}.

$$-0.9y=44.2-55$$

הוסף את ‎44.2 ל- ‎-55.

$$-0.9y=-10.8$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-0.9, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום y ב- ‎2.6x+3.5y=55. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2.6x+3.5\times 12=55$$

הכפל את ‎3.5 ב- ‎12.

$$2.6x+42=55$$

החסר ‎42 משני אגפי המשוואה.

$$2.6x=13$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.6, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=12$$