פתור את {l}{x+y=144}{10x+8y=1192}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 144 } \\ { 10 x + 8 y = 1192 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=20$$

$$y=124$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=144$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+144$$

השתמש ב- ‎-y+144 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎10x+8y=1192.

$$10\left(-y+144\right)+8y=1192$$

הכפל את ‎10 ב- ‎-y+144.

$$-10y+1440+8y=1192$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎8y.

$$-2y+1440=1192$$

החסר ‎1440 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=-248$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=124$$

השתמש ב- ‎124 במקום y ב- ‎x=-y+144. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-124+144$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-124.

$$x=20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=20,y=124$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-10}&-\frac{1}{8-10}\\-\frac{10}{8-10}&\frac{1}{8-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{1}{2}\\5&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 144+\frac{1}{2}\times 1192\\5\times 144-\frac{1}{2}\times 1192\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\124\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=20,y=124$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎10x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎10 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$10x+10y=10\times 144,10x+8y=1192$$

פשט.

$$10x+10y=1440,10x+8y=1192$$

החסר את ‎10x+8y=1192 מ- ‎10x+10y=1440 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+10y-8y=1440-1192$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y-8y=1440-1192$$

הוסף את ‎10y ל- ‎-8y.

$$2y=1440-1192$$

הוסף את ‎1440 ל- ‎-1192.

$$2y=248$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=124$$

השתמש ב- ‎124 במקום y ב- ‎10x+8y=1192. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$10x+8\times 124=1192$$

הכפל את ‎8 ב- ‎124.

$$10x+992=1192$$

החסר ‎992 משני אגפי המשוואה.

$$10x=200$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=20,y=124$$