פתור את {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=85$$

$$y=45$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=130$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+130$$

השתמש ב- ‎-y+130 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

הכפל את ‎20 ב- ‎-y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎5y.

$$-15y+2600=1925$$

החסר ‎2600 משני אגפי המשוואה.

$$-15y=-675$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=45$$

השתמש ב- ‎45 במקום y ב- ‎x=-y+130. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-45+130$$

הוסף את ‎130 ל- ‎-45.

$$x=85$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=85,y=45$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=85,y=45$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎20x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎20 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

פשט.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

החסר את ‎20x+5y=1925 מ- ‎20x+20y=2600 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-5y=2600-1925$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-5y.

$$15y=2600-1925$$

הוסף את ‎2600 ל- ‎-1925.

$$15y=675$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=45$$

השתמש ב- ‎45 במקום y ב- ‎20x+5y=1925. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$20x+5\times 45=1925$$

הכפל את ‎5 ב- ‎45.

$$20x+225=1925$$

החסר ‎225 משני אגפי המשוואה.

$$20x=1700$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$x=85$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=85,y=45$$