פתור את {l}{x+y=107}{4x+2y=284}hline0k

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 107 } \\ { 4 x + 2 y = 284 } \\ \hline 0 k \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=35$$

$$y=72$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=107,4x+2y=284$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=107$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+107$$

השתמש ב- ‎-y+107 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+2y=284.

$$4\left(-y+107\right)+2y=284$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-y+107.

$$-4y+428+2y=284$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎2y.

$$-2y+428=284$$

החסר ‎428 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=-144$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=72$$

השתמש ב- ‎72 במקום y ב- ‎x=-y+107. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-72+107$$

הוסף את ‎107 ל- ‎-72.

$$x=35$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=35,y=72$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=107,4x+2y=284$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-107+\frac{1}{2}\times 284\\2\times 107-\frac{1}{2}\times 284\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\72\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=35,y=72$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=107,4x+2y=284$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$4x+4y=4\times 107,4x+2y=284$$

פשט.

$$4x+4y=428,4x+2y=284$$

החסר את ‎4x+2y=284 מ- ‎4x+4y=428 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+4y-2y=428-284$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-2y=428-284$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-2y.

$$2y=428-284$$

הוסף את ‎428 ל- ‎-284.

$$2y=144$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=72$$

השתמש ב- ‎72 במקום y ב- ‎4x+2y=284. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+2\times 72=284$$

הכפל את ‎2 ב- ‎72.

$$4x+144=284$$

החסר ‎144 משני אגפי המשוואה.

$$4x=140$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=35$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=35,y=72$$