פתור את {l}{x+y=100}{60x+70y=6300}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 6300 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=70$$

$$y=30$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=100$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+100$$

השתמש ב- ‎-y+100 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎60x+70y=6300.

$$60\left(-y+100\right)+70y=6300$$

הכפל את ‎60 ב- ‎-y+100.

$$-60y+6000+70y=6300$$

הוסף את ‎-60y ל- ‎70y.

$$10y+6000=6300$$

החסר ‎6000 משני אגפי המשוואה.

$$10y=300$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎x=-y+100. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-30+100$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-30.

$$x=70$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=70,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 6300\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 6300\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\30\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=70,y=30$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎60x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎60 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=6300$$

פשט.

$$60x+60y=6000,60x+70y=6300$$

החסר את ‎60x+70y=6300 מ- ‎60x+60y=6000 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$60x-60x+60y-70y=6000-6300$$

הוסף את ‎60x ל- ‎-60x. האיברים ‎60x ו- ‎-60x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$60y-70y=6000-6300$$

הוסף את ‎60y ל- ‎-70y.

$$-10y=6000-6300$$

הוסף את ‎6000 ל- ‎-6300.

$$-10y=-300$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=30$$

השתמש ב- ‎30 במקום y ב- ‎60x+70y=6300. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$60x+70\times 30=6300$$

הכפל את ‎70 ב- ‎30.

$$60x+2100=6300$$

החסר ‎2100 משני אגפי המשוואה.

$$60x=4200$$

חלק את שני האגפים ב- ‎60.

$$x=70$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=70,y=30$$