פתור את {l}{x+y=1}{3x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=1,3x+y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+1$$

השתמש ב- ‎-y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=5.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-y+1.

$$-3y+3+y=5$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎y.

$$-2y+3=5$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=-y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-1.

$$x=1+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎1.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=1,3x+y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=1,3x+y=5$$

החסר את ‎3x+y=5 מ- ‎x+y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-3x+y-y=1-5$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-3x=1-5$$

הוסף את ‎x ל- ‎-3x.

$$-2x=1-5$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-5.

$$-2x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎3x+y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3\times 2+y=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6+y=5$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$y=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-1$$