פתור את {l}{x+y=-6}{y=3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 6 } \\ { y = 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=-6$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y-6$$

השתמש ב- ‎-y-6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+y=-2.

$$-3\left(-y-6\right)+y=-2$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-y-6.

$$3y+18+y=-2$$

הוסף את ‎3y ל- ‎y.

$$4y+18=-2$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$4y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=-y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-5\right)-6$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-5.

$$x=5-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎5.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$y-3x=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

החסר את ‎-3x+y=-2 מ- ‎x+y=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x+3x+y-y=-6+2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x+3x=-6+2$$

הוסף את ‎x ל- ‎3x.

$$4x=-6+2$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎2.

$$4x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎-3x+y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-3\left(-1\right)+y=-2$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-1.

$$3+y=-2$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$y=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-5$$