פתור את {l}{x+y=-4}{y=5x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 4 } \\ { y = 5 x + 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=-4$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y-4$$

השתמש ב- ‎-y-4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+y=2.

$$-5\left(-y-4\right)+y=2$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-y-4.

$$5y+20+y=2$$

הוסף את ‎5y ל- ‎y.

$$6y+20=2$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$6y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-y-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-3\right)-4$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-3.

$$x=3-4$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎3.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\right)}&-\frac{1}{1-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{1-\left(-5\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-4\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{5}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

החסר את ‎-5x+y=2 מ- ‎x+y=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x+5x+y-y=-4-2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x+5x=-4-2$$

הוסף את ‎x ל- ‎5x.

$$6x=-4-2$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎-2.

$$6x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎-5x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-5\left(-1\right)+y=2$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-1.

$$5+y=2$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-3$$