פתור את {l}{x+5y=6}{5x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 6 } \\ { 5 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+5y=6,5x+y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+5y=6$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$x=-5y+6$$

השתמש ב- ‎-5y+6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+y=0.

$$5\left(-5y+6\right)+y=0$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-5y+6.

$$-25y+30+y=0$$

הוסף את ‎-25y ל- ‎y.

$$-24y+30=0$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$-24y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-24.

$$y=\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{4} במקום y ב- ‎x=-5y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5\times \frac{5}{4}+6$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{5}{4}.

$$x=-\frac{25}{4}+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-\frac{25}{4}.

$$x=-\frac{1}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{5}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+5y=6,5x+y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&5\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-5\times 5}&-\frac{5}{1-5\times 5}\\-\frac{5}{1-5\times 5}&\frac{1}{1-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{5}{24}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{24}\times 6\\\frac{5}{24}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{5}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+5y=6,5x+y=0$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$5x+5\times 5y=5\times 6,5x+y=0$$

פשט.

$$5x+25y=30,5x+y=0$$

החסר את ‎5x+y=0 מ- ‎5x+25y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x+25y-y=30$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$25y-y=30$$

הוסף את ‎25y ל- ‎-y.

$$24y=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$y=\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{4} במקום y ב- ‎5x+y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+\frac{5}{4}=0$$

החסר ‎\frac{5}{4} משני אגפי המשוואה.

$$5x=-\frac{5}{4}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-\frac{1}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{5}{4}$$