פתור את {l}{x+5=3y}{y-2=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 = 3 y } \\ { y - 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+5-3y=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-3y=-5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2-2x=0$$

הוסף ‎2 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$y-2x=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-3y=-5$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$x=3y-5$$

השתמש ב- ‎3y-5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+y=2.

$$-2\left(3y-5\right)+y=2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3y-5.

$$-6y+10+y=2$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎y.

$$-5y+10=2$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=\frac{8}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{5} במקום y ב- ‎x=3y-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\times \frac{8}{5}-5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{8}{5}.

$$x=\frac{24}{5}-5$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎\frac{24}{5}.

$$x=-\frac{1}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+5-3y=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-3y=-5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2-2x=0$$

הוסף ‎2 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$y-2x=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x+5-3y=0$$

החסר ‎5 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-3y=-5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2-2x=0$$

הוסף ‎2 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$y-2x=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-5\right),-2x+y=2$$

פשט.

$$-2x+6y=10,-2x+y=2$$

החסר את ‎-2x+y=2 מ- ‎-2x+6y=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x+6y-y=10-2$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-y=10-2$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-y.

$$5y=10-2$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-2.

$$5y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{8}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{5} במקום y ב- ‎-2x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+\frac{8}{5}=2$$

החסר ‎\frac{8}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-2x=\frac{2}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$