פתור את {l}{x+4y=5}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 5 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{33}{5} = 6\frac{3}{5} = 6.6$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+4y=5,x-y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+4y=5$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$x=-4y+5$$

השתמש ב- ‎-4y+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=7.

$$-4y+5-y=7$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-y.

$$-5y+5=7$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{5} במקום y ב- ‎x=-4y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-4\left(-\frac{2}{5}\right)+5$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{2}{5}.

$$x=\frac{8}{5}+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎\frac{8}{5}.

$$x=\frac{33}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+4y=5,x-y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4}&-\frac{4}{-1-4}\\-\frac{1}{-1-4}&\frac{1}{-1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\\\frac{1}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+4y=5,x-y=7$$

החסר את ‎x-y=7 מ- ‎x+4y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-x+4y+y=5-7$$

הוסף את ‎x ל- ‎-x. האיברים ‎x ו- ‎-x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+y=5-7$$

הוסף את ‎4y ל- ‎y.

$$5y=5-7$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-7.

$$5y=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{5} במקום y ב- ‎x-y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\left(-\frac{2}{5}\right)=7$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{2}{5}.

$$x+\frac{2}{5}=7$$

החסר ‎\frac{2}{5} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{33}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{2}{5}$$