פתור את {l}{x+4y=41}{4x+5y=65}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+4y=41$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$x=-4y+41$$

השתמש ב- ‎-4y+41 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+5y=65.

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-4y+41.

$$-16y+164+5y=65$$

הוסף את ‎-16y ל- ‎5y.

$$-11y+164=65$$

החסר ‎164 משני אגפי המשוואה.

$$-11y=-99$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=-4y+41. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-4\times 9+41$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=-36+41$$

הוסף את ‎41 ל- ‎-36.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

פשט.

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

החסר את ‎4x+5y=65 מ- ‎4x+16y=164 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$16y-5y=164-65$$

הוסף את ‎16y ל- ‎-5y.

$$11y=164-65$$

הוסף את ‎164 ל- ‎-65.

$$11y=99$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎4x+5y=65. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+5\times 9=65$$

הכפל את ‎5 ב- ‎9.

$$4x+45=65$$

החסר ‎45 משני אגפי המשוואה.

$$4x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=9$$