פתור את {l}{x+4y=35}{2x+5y=37}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 35 } \\ { 2 x + 5 y = 37 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-9$$

$$y=11$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+4y=35,2x+5y=37$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+4y=35$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$x=-4y+35$$

השתמש ב- ‎-4y+35 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+5y=37.

$$2\left(-4y+35\right)+5y=37$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-4y+35.

$$-8y+70+5y=37$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎5y.

$$-3y+70=37$$

החסר ‎70 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=-33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=11$$

השתמש ב- ‎11 במקום y ב- ‎x=-4y+35. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-4\times 11+35$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎11.

$$x=-44+35$$

הוסף את ‎35 ל- ‎-44.

$$x=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=11$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+4y=35,2x+5y=37$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\37\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&4\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\37\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\37\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\37\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 2}&-\frac{4}{5-4\times 2}\\-\frac{2}{5-4\times 2}&\frac{1}{5-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\37\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\37\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\times 35+\frac{4}{3}\times 37\\\frac{2}{3}\times 35-\frac{1}{3}\times 37\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\11\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-9,y=11$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+4y=35,2x+5y=37$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\times 4y=2\times 35,2x+5y=37$$

פשט.

$$2x+8y=70,2x+5y=37$$

החסר את ‎2x+5y=37 מ- ‎2x+8y=70 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+8y-5y=70-37$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y-5y=70-37$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-5y.

$$3y=70-37$$

הוסף את ‎70 ל- ‎-37.

$$3y=33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=11$$

השתמש ב- ‎11 במקום y ב- ‎2x+5y=37. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+5\times 11=37$$

הכפל את ‎5 ב- ‎11.

$$2x+55=37$$

החסר ‎55 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=11$$