פתור את {l}{x+4y=2}{-x-3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 2 } \\ { - x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-18$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+4y=2$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$x=-4y+2$$

השתמש ב- ‎-4y+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x-3y=3.

$$-\left(-4y+2\right)-3y=3$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-4y+2.

$$4y-2-3y=3$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-3y.

$$y-2=3$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-4y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-4\times 5+2$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=-20+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-20.

$$x=-18$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-18,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 2-4\times 3\\2+3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-18,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-x-4y=-2,-x-3y=3$$

החסר את ‎-x-3y=3 מ- ‎-x-4y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x-4y+3y=-2-3$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y+3y=-2-3$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎3y.

$$-y=-2-3$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-3.

$$-y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎-x-3y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x-3\times 5=3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎5.

$$-x-15=3$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$-x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-18$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-18,y=5$$