פתור את {l}{x+2y=4}{9x-62y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 } \\ { 9 x - 62 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{67}{20} = 3\frac{7}{20} = 3.35$$

$$y=\frac{13}{40}=0.325$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=4,9x-62y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=4$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+4$$

השתמש ב- ‎-2y+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x-62y=10.

$$9\left(-2y+4\right)-62y=10$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-2y+4.

$$-18y+36-62y=10$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎-62y.

$$-80y+36=10$$

החסר ‎36 משני אגפי המשוואה.

$$-80y=-26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-80.

$$y=\frac{13}{40}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{40} במקום y ב- ‎x=-2y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{13}{40}+4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{13}{40}.

$$x=-\frac{13}{20}+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-\frac{13}{20}.

$$x=\frac{67}{20}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{67}{20},y=\frac{13}{40}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=4,9x-62y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{62}{-62-2\times 9}&-\frac{2}{-62-2\times 9}\\-\frac{9}{-62-2\times 9}&\frac{1}{-62-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{40}&\frac{1}{40}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{80}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{40}\times 4+\frac{1}{40}\times 10\\\frac{9}{80}\times 4-\frac{1}{80}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{67}{20}\\\frac{13}{40}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{67}{20},y=\frac{13}{40}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=4,9x-62y=10$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$9x+9\times 2y=9\times 4,9x-62y=10$$

פשט.

$$9x+18y=36,9x-62y=10$$

החסר את ‎9x-62y=10 מ- ‎9x+18y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$9x-9x+18y+62y=36-10$$

הוסף את ‎9x ל- ‎-9x. האיברים ‎9x ו- ‎-9x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y+62y=36-10$$

הוסף את ‎18y ל- ‎62y.

$$80y=36-10$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-10.

$$80y=26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎80.

$$y=\frac{13}{40}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{40} במקום y ב- ‎9x-62y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x-62\times \frac{13}{40}=10$$

הכפל את ‎-62 ב- ‎\frac{13}{40}.

$$9x-\frac{403}{20}=10$$

הוסף ‎\frac{403}{20} לשני אגפי המשוואה.

$$9x=\frac{603}{20}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{67}{20}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{67}{20},y=\frac{13}{40}$$